I contrasti vengono utilizzati nell'ambito dell'analisi della varianza (e dei modelli lineari) per confrontare gli effetti fra gruppi diversi (modalità diverse della variabile indipendente, o di raggruppamento).

Un contrasto è una combinazione lineare di medie ($\mu_i$) di fattore con coefficienti ($c_i$) a somma nulla.

$$\text{contrasto} = \sum{c_i\mu_i}$$

Il numero di contrasti possibile per una variabile è pari al numero delle sue modalità $-$ 1.

Nel modello aov(data = ChickWeight, weight ~ Diet) (vedi [Anova a una via}(r:analisi_bivariata:anova_one_way)), data la matrice di contrasti di default:

contrasts(ChickWeight$Diet)

##   2 3 4
## 1 0 0 0
## 2 1 0 0
## 3 0 1 0
## 4 0 0 1

I contrasti saranno la differenza fra la media di ciascun gruppo e la media del primo, ovvero i coefficienti della regressione:

aov.res <- aov(data = ChickWeight, weight ~ Diet)
coef(aov.res)

## (Intercept)       Diet2       Diet3       Diet4 
##   102.64545    19.97121    40.30455    32.61726

L'intercetta è infatti la media della classe considerata come base del confronto, e i coefficienti sono gli "effetti", ovvero le differenze fra l'intercetta e le medie di gruppo:

Come si vede nella tabella, infatti, l coefficiente del secondo gruppo è in effetti pari a ${122,6167} - {102,6455}$.

Per definire i contrasti, usiamo la funzione contrasts(), che abbiamo usato sopra per visualizzare i contrasti di default. Impostiamo ad esempio i contrasti di trattamento (vedi oltre):

# treatment
contrasts(ChickWeight$Diet) <- contr.treatment(4, base = 3)

I contrasti diventano un'attributo della variabile, che possiamo visualizzare con la funzione contrasts():

contrasts(ChickWeight$Diet)

##   1 2 4
## 1 1 0 0
## 2 0 1 0
## 3 0 0 0
## 4 0 0 1

Nel comando contr.treatment(4, base = 3), il primo numero indica il numero dei livelli del fattore (dei gruppi).

In R, è possibile definire diversi tipi di contrasti (ovvero di matrici di coefficienti per calcolare i contrasti $\sum{\mu_ic_i}$):

Abbiamo visto sopra i contrasti di default (dummy) e i contrasti treatment. Vediamo gli altri tipi comunemente utilizzati:

# contrasti di Helmert
contrasts(ChickWeight$Diet) <- contr.helmert(4)
contrasts(ChickWeight$Diet)

##   [,1] [,2] [,3]
## 1   -1   -1   -1
## 2    1   -1   -1
## 3    0    2   -1
## 4    0    0    3

# contrasti SAS
contrasts(ChickWeight$Diet) <- contr.SAS(4)
contrasts(ChickWeight$Diet)

##   1 2 3
## 1 1 0 0
## 2 0 1 0
## 3 0 0 1
## 4 0 0 0

Con l'argomento split, possiamo vedere la scomposizione della varianza in base ai contrasti impostati:

summary.aov(aov.res, 
            split=list(Diet=list(1, 2, 3)))

##              Df  Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## Diet          3  155863   51954   10.81 6.43e-07 ***
##   Diet: C1    1      97      97    0.02    0.887    
##   Diet: C2    1   74055   74055   15.41 9.71e-05 ***
##   Diet: C3    1   81711   81711   17.00 4.29e-05 ***
## Residuals   574 2758693    4806                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Nell'output, i contrasti sono numerati in base alla matrice dei contrasti: C1 indica il contrasto fra la dieta 2 e la dieta 1, e dunque corrisponde alla modalità Diet 2. Può dunque essere comodo rinominarli:

summary(aov.res, 
        split = list(Diet=list("2 vs. 1" = 1, "3 vs. 1" = 2, 
                               "4 vs. 1" = 3)))

##                  Df  Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## Diet              3  155863   51954   10.81 6.43e-07 ***
##   Diet: 2 vs. 1   1      97      97    0.02    0.887    
##   Diet: 3 vs. 1   1   74055   74055   15.41 9.71e-05 ***
##   Diet: 4 vs. 1   1   81711   81711   17.00 4.29e-05 ***
## Residuals       574 2758693    4806                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

In caso di analisi fattoriale (vedi l'esempio in [[anova_two_way_factorial]]), possiamo inserire nella lista più di una lista di contrasti. Ad esempio:

split = list(block = list("3 vs. 1" = 2), N =list("pres. vs. ass." = 1))

I contrasti possono essere impostati per la singola variabile (vedi anche l'esempio alla voce Anova a due vie), o come argomento delle funzioni lm(), aov(), glm(). Ad esempio:

aov2.res <- aov(data = ChickWeight, weight ~ Diet, 
                contrasts = list("Diet" = contr.helmert(4)))   # una lista

Confronto dei risultati:

rbind("Treatment" = coef(aov.res), "Helmert" = coef(aov2.res))

##           (Intercept)     Diet2    Diet3     Diet4
## Treatment    102.6455 19.971212 40.30455 32.617257
## Helmert      125.8687  9.985606 10.10631  3.131335

Esempio con più variabili (vedi Anova a due vie e fattoriale):

# contrasti di default
res <- aov(yield ~ block + P, npk)
coef(res)

## (Intercept)      block2      block3      block4      block5      block6 
##   54.616667    3.425000    6.750000   -3.900000   -3.500000    2.325000 
##          P1 
##   -1.183333

# contrasti per una variabile
res <- aov(yield ~ block + P, npk, 
           contrasts = list("P" = contr.helmert(2)))
coef(res)

## (Intercept)      block2      block3      block4      block5      block6 
##  54.0250000   3.4250000   6.7500000  -3.9000000  -3.5000000   2.3250000 
##          P1 
##  -0.5916667

# contrasti diversi per ciascuna variabile
res <- aov(yield ~ block + P, npk, 
       contrasts = list("block" = contr.treatment(6, 3), "P" = contr.helmert(2)))
coef(res)

## (Intercept)      block1      block2      block4      block5      block6 
##  60.7750000  -6.7500000  -3.3250000 -10.6500000 -10.2500000  -4.4250000 
##          P1 
##  -0.5916667