Analisi della varianza (ANOVA) con R

L'analisi della varianza (ANOVA) è una tecnica utilizzata per confrontare le medie e le varianze di due o più gruppi, e per valutare se tali differenze siano statisticamente significative. L'Anova si utilizza quindi quando la variabile o le variabili indipendenti sono di tipo categoriale, e la variabile dipendente è cardinale.

R prevede diverse funzioni per condurre diversi tipi di ANOVA. Per una introduzione a queste tecniche, si rimanda alla relativa voce di Wikipedia.

Ai fini della scelta delle tecniche da utilizzare, è importante ricordare gli assunti dell'Anova:

• normalità: la distribuzione della variabile deve avere un andamento normale nei gruppi (è possibile effettuare il [test di Shapiro-Wik](r:test_statistici:shapiro-test));
• omoschedasticità: le varianze dei gruppi devono essere uguali (è possibile effettuare il [test F delle varianze](r:test_statistici:var-test));
• sfericità (solo per l'Anova entro casi): le covarianze dei gruppi sono omogenee.

Vedi anche, su Wikipedia, Analisi della varianza.

Inoltre, quando si procede ad una Anova fattoriale, vale anche il requisito:

• I gruppi devono avere la stessa numerosità (circa).

Per soddisfare questo requisito, è sufficiente selezionare in maniera casuale un sotto–campione, oppure ricorrere alla Ponderazione dei casi.

Quando uno o entrambi di questi requisiti non sono rispettati, si devono utilizzare tecniche non parametriche di analisi della varianza¹⁾.

Ci sono pacchetti dedicati alle diverse tecniche di analisi della varianza non parametrica. Vedi in particolare il pacchetto WRS2

• //One-way Anova//, o [[Anova_one_way|Anova a una via]]: una variabile indipendente (se le modalità sono due, si usa anche il t-test);
• //Two-way Anova//, o [[r:analisi_multivariata:anova_two_way_factorial|Anova a due vie]]: due variabili indipendenti, con o senza analisi degli effetti di interazione;
• //Factorial Anova//, o [[r:analisi_multivariata:anova_two_way_factorial|Anova fattoriale]]: quando si vogliano studiare gli effetti di interazione fra due o più variabili indipendenti;
• Anova multivariata (MANOVA): quando le variabili dipendenti sono più di una.

Distinguiamo inoltre fra:

• Anova tra casi: quando i casi sono indipendenti fra di loro;
• Anova entro casi o Repeated Measures: quando i casi non sono indipendenti fra di loro (ad esempio quando si esegue un test prima-dopo, e dunque i gruppi sono composti dagli stessi casi).

In generale, è possibile utilizzare la funzione lm() o la funzione aov(), che consente anche l'analisi a due o più vie.

È possibile ottenere una tabella dell'analisi della varianza (o della devianza) con la funzione anova(), applicata ad un modello di analisi lineare (lm e glm, ad esempio):

anova(lm.res)

Poniamo ad esempio che ''y'' sia una variabile numerica, e''A'' una variabile categoriale. Otterremmo una tabella così composta:

Analysis of Variance Table

Response: mydata$y
             Df  Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
mydata$A      1    0.23  0.2335  0.1144 0.7353
Residuals   627 1279.93  2.0414  

Dove:

• mydata$A = variabile esplicativa
• Df = gradi di libertà
• Sum Sq = devianza (mydata$A = entro gruppi, o spiegata, o sistematica; Residuals = residua, o non spiegata, o stocastica)
• Mean Sq = varianza (Sum Sq / Df)
• F value e Pr(>F) = test F: varianza spiegata / varianza residua, e significatività statistica

Ai fini dell'interpretazione, si deve ricordare che l'ipotesi nulla è che le varianze siano uguali fra di loro, e che dunque la variabile indipendente non produca effetti su quella dipendente. La probabilità che sia vera l'ipotesi nulla è indicata dal valore Pr (altrove, p). Nel caso in esempio, la relazione non è significativa ed anzi le due variabili sono quasi perfettamente indipendenti, in quanto Pr = 0.7353: c'è il 73,5% di probabilità che sia vera l'ipotesi nulla.

Vedi:

• formula
• Anova a una via
• Anova a due vie e fattoriale
• Contrasti

• test di Tukey
• pairwise t-test
• test di Scheffé sui contrasti, vedi pacchetto DescTools, funzione ScheffeTest()
• su Statistica con R, si trovano le funzioni per eseguire test di Bonferroni e di Scheffé
• pacchetto DescTools, funzione PostHocTest(), consente di eseguire diversi test post-hoc

Con RCommander è possibile svolgere da menu:

• i tests per i controlli degli assunti;
• l'Anova a due vie, con i tests post–hoc (confronto di medie a coppie);
• l'Anova a più vie , senza tests post–hoc;

Non è invece possibile (da menu):

• utilizzare dati ponderati;
• specificare il modello fattoriale.

Le procedure per eseguire l'Analisi della varianza in R sono disponibili su Wikipedia all'indirizzo: Analisi della varianza

Sul blog Statistica con R, sono inoltre disponibili i seguenti posts di approfondimento (in Anova):

• Anova a due vie
• Confronto fra più gruppi, metodo parametrico
• Confronto fra più gruppi, metodo non parametrico
• Quando le assunzioni dell'Anova sono violate:tests e post-hoc tests, per i metodi non parametrici.
• Post-hoc tests (1) e Post-hoc tests(2)