Il test t (o t test) è un test parametrico di significatività statistica che utilizza la distribuzione t di Student per valutare la stima di una variabile o di un valore.

La distribuzione dei valori t ha come suoi parametri la media e l'errore standard della media, e, per campioni grandi, non è sensibile agli scostamenti dalla normalità della forma della distribuzione.

La distribuzione t di Student

Inoltre, sempre per campioni grandi (maggiori di circa 30 casi), la distribuzione t tende a coincidere con la distribuzione normale standard (dei valori Z): come abbiamo visto e più volte ripetuto, infatti, all’aumentare delle dimensioni del campione, l’errore standard del campione tende a coincidere con la deviazione standard della popolazione.

Come si vede nella figura sopra, infatti, la curva con 3 gradi di libertà (df, degrees of freedom) è più larga e bassa rispetto alla curva con 30 df — che coincide quasi con la distribuzione normale.

I valori t di una variabile si calcolano come segue:

$$t\ =\ \frac{x_i-\ \mu}{ES}$$

Dove:

• $\mu$ = parametro (media o altra statistica);
• ES = errore standard di $\mu$.

In R, la distribuzione t è data dalla funzione dt(). Le funzioni qt() e pt() servono a consultare i valori della distribuzione (rispettivamente, quantili e probabilità).

Passiamo a vedere il test applicato alle medie, ma la logica del test è la stessa anche nel controllo di significatività di altre stime.

Il test confronta la differenza osservata fra due medie con la differenza attesa in caso di indipendenza statistica.

Il test viene tipicamente utilizzato nei disegni sperimentali: quello per campioni indipendenti è adatto nel caso di disegno con gruppo di controllo (con due gruppi sottoposti a diverse condizioni sperimentali); per i disegni sperimentali prima-dopo, ovvero quando si vogliano mettere a confronto i risultati di misurazioni diverse svolte sullo stesso gruppo, si utilizza il test per medie appaiate (dependent-means t-test).

Nell’ambito del disegno statistico (rilevazioni campionarie), è possibile utilizzare il test per campioni indipendenti per confrontare le medie fra gruppi definiti da una variabile categoriale, come, ad esempio, le medie delle retribuzioni fra uomini e donne.

I gruppi definiti dalla variabile indipendente non devono avere numerosità e varianza troppo diversi (omoschedasticità). La funzione test.t() effettua per default la correzione di Welch per gruppi con varianze diverse, quindi questo assunto non deve necessariamente essere controllato.

L’ipotesi nulla è che fra i gruppi non vi sia differenza:

• nel test a due code, l’ipotesi nulla è che la differenza sia uguale 0;
• nel test a una coda, l’ipotesi nulla è che la differenza non sia maggiore (o minore) di 0;

Il valore t che viene calcolato (-13.922) è quello della differenza fra le medie, e non quello delle medie.

# dati
data("SLID", package = "carData")
 
# test a due code
t.test(wages ~ sex, data = SLID,
       alternative = 'two.sided',     
       conf.level = .95)

 
##  	Welch Two Sample t-test
##  
##  data:  wages by sex
##  t = -13.922, df = 4044.9, p-value < 2.2e-16
##  alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
##  95 percent confidence interval:
##   -3.801961 -2.863311
##  sample estimates:
##  mean in group Female   mean in group Male 
##              13.88958             17.22221       

L’ipotesi nulla può essere respinta (p è pari a 0). La differenza “reale” che possiamo attenderci nella popoazione è compresa fra −3,8 e −2,9 (il campione è tratto con p = 0.95 da una popolazione con differenza compresa in questo intervallo).

Passiamo a controllare l’ipotesi che la retribuzione delle donne sia inferiore a quella degli uomini, con un test a una coda:

# test a due code
t.test(wages ~ sex, data = SLID,
       alternative = 'less',     
       conf.level = .95)

##  	Welch Two Sample t-test
##  
##  data:  wages by sex
##  t = -13.922, df = 4044.9, p-value < 2.2e-16
##  alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
##  95 percent confidence interval:
##        -Inf -2.938794
##  sample estimates:
##  mean in group Female   mean in group Male 
##              13.88958             17.22221 

In questo caso, l’ipotesi nulla è che la vera differenza non sia minore di 0 (ovvero che sia uguale o maggiore), e può essere respinta. Il risultato del test è uguale a quello a due code, ma l’intervallo di confidenza è calcolato nella coda inferiore (< 0).

E' possibile scaricare ed eseguire lo script dell'esempio:

test_t.R

# dati
data("SLID", package = "carData")
 
# test a due code
t.test(wages ~ sex, data = SLID,
       alternative = 'two.sided',     
       conf.level = .95)
 
# test a due code
t.test(wages ~ sex, data = SLID,
       alternative = 'less',     
       conf.level = .95)